有关三角函数辅助角公式

来源:原创作者:编辑:admin2020-07-14 08:08

  原发布者:朱晓勇

  辅助角公式在高角题中得应用

  对如y=asinx+bcosx的三角式变形如下:

  y=asinx=bcosx。

  上式中的与方和为1,故可记=cosθ,=sinθ,则由此我们得到结论:asinx+bcosx=,(*)其中θ由来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin()+k的形式。下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。

  一.求周期

  例1求函数的最小正周期。

  解:所以函数y的最小正周期T=π。

  评注:将三角式化为y=Asin()+k的形式,是求周期的主要途径。

  二.求最值

  例2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若,求f(x)的最大值和最小值。

  解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。

  由。

  当,即x=0时,最小值;

  当时取最大值1。

  从而f(x)在上的最大值是1,最小值是。

  3.求单调区间

  例3.已知向量,,令,求函数f(x)在[0,π]上的单调区间。

  解:先由。

  反之再由。

  所以f(x)在上单调递增,在上单调递减。

  评注:以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式,是求单调区间的通法。

  四.求值域

  例4.求函数

  的值域。

  解:所以函数f(x)的值域是[-4,4]。

  五.图象对称问题

  例6.如果函数(

  公式:asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+arctan b/a)有.

  正确公式是:asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+辅助角t),

  其中助角t”满足条tan(辅助角t)=b/a”,而辅助角t的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.

  你的错误在于:

  (1)认为“辅助角t=arctan b/a”.因为

  “辅助角t”可能在四个象限,而arctan b/a的取值范围是(-π/2,π/2);它们显然不一定相等;

  (2)sinx-cosx的辅助角在第四象限,可用arctan-1/1表示,但cosx-sinx的辅助角在第二象限,不能用arctan(1/-1)表示,可取成3π/4.

  cosx-sinx 负号弄错了 应该是 -(sinx-cosx) 这回再用辅助角公式 看看对不