图像处理中的数学原理详解22——快速傅立叶变换

来源:原创作者:编辑:admin2020-07-03 12:26

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  傅立叶变换以高等数学(微积分)中的傅立叶级数为基础发展而来,它是信号处理(特别是图像处理)中非常重要的一种时频变换手段,具有重要应用。在图像编码、压缩、降噪、数字水印方面都有重要意义。此外,快速傅立叶变换算法还位列20世纪十大算法之列,它是“动态规划”策略在算法设计中的杰出代表。本文将详细介绍图像中的傅立叶变换及其快速算法。对于傅立叶变换的数学原理还不是很理解的同学,建议参考本系列前面已经发布的傅立叶级数相关内容,争取彻底搞懂相关数学原理。一知半解、不求甚解,都是自欺欺人的表现。

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  6.1.2 ? 数字图像的傅立叶变换

  为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅立叶变换,必须将函数f(t)定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅立叶变换。将连续函数f(t)等间隔采样就得到一个离散序列f(x),假设采样N次,则这个离散序列可以表示为{f(0),f(1),f(2),...,f(N-1)}。如果令x为离散实变量,u为离散频率变量,则一维离散傅立叶变换的正变换定义为

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  图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。从傅立叶频谱图上看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。通常,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图。在功率图中我们可以看出图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,若频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。变换最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级。当从变换的原点移开时,低频对应着图像的慢变换分量,较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级。这些是物体的边缘和由灰度级的突发改变(如噪声)标志的图像成分。通常在进行傅立叶变换之前用(-1)^(x+y)乘以输入的图像函数,这样便可将傅立叶变换的原点(0,0)移到(M/2,N/2)上。